地震波→反应谱

[!abstract] 概述 从时域到反应谱的变换，本质是这样一个运算：给定一条离散化的地震加速度时程 $\ddot u_g(t)$（即"地震波"），构造一族单自由度（SDOF）振子——每个振子对应一个自振周期 $T$ 与阻尼比 $\zeta$——分别求出每个振子在 $\ddot u_g(t)$ 作用下的最大相对位移、最大相对速度、最大绝对加速度，把这些"最大值"作为 $T$ 的函数画成曲线，就得到位移反应谱 $S_D(T)$、速度反应谱 $S_V(T)$、加速度反应谱 $S_A(T)$。这个"对每个周期解一次运动方程、再取最大值"的过程，就是时域→反应谱变换的全部数学内容。

本文系统推导这条变换链，共 13 个公式/判据，每式配参数表、单位标注、带单位代入选代的算例与量纲一致性校验：先从 SDOF 运动方程（F1）、频率/周期（F2）出发；给出 Duhamel 积分解析解（F3）作为"时域→反应"的核心数学关系；定义三种反应谱（F4）与伪速度/伪加速度（F5）；随后展开四种工程数值变换方法——数值 Duhamel 积分 Simpson 递推（F6，方法 A）、Nigam-Jennings 分段精确法（F7，方法 B，主流算法）、Newmark-$\beta$ 逐步积分（F8，方法 C）、FFT 频域法（F9，方法 D）；再补周期网格扫掠（F10）、时间步长判据（F11）、反应谱与地震影响系数 $\alpha$ 的换算（F12，与选波/规范对接）、三坐标反应谱（F13）。综合算例以一条谐和地震动验证共振放大 $1/(2\zeta)$，并给出矩形脉冲下 Nigam-Jennings 手算复现解析解的过程。

本文与既有 superquery 的衔接：姊妹篇 2026-07-25-seismic-wave-selection-superquery↗ 的式(F7)要求"多组时程波的平均地震影响系数曲线与设计反应谱在主要振型周期点相差 ≤ 20%"——那 20% 判据的前提正是本文所讲的变换：必须先把每条候选波的时程 $\ddot u_g(t)$ 变换成它的反应谱 $S_A(T)$（或 $\alpha(T)=S_A/g$），才能与设计谱比对。因此本文是选波判据 F7 的"上游算法"。

1. 问题引入¶

1.1 为什么要做这条变换¶

在结构抗震分析的振型分解反应谱法中，输入是"设计反应谱"——一条由规范给定、代表场地统计平均的 $S_A(T)$ 曲线（见 seismic-influence-factor↗、seismic-response-spectrum↗）。而在时程分析法中，输入是一条具体的加速度时程 $\ddot u_g(t)$（见 elastic-time-history-analysis↗、ground-motion-input↗）。

两类方法要"等效"或"互校"，就必须把时程 $\ddot u_g(t)$ 也变换成一条反应谱曲线。这条由实际记录算出的谱，被称为该记录的单记录反应谱（single-record response spectrum），以区别于规范给的设计谱。它的用途至少有三：

选波频谱拟合判据：检验候选波的 $S_A(T)$ 在结构主振型周期处是否落在设计谱 $\pm 20\%$ 容差带内（来源：GB 50011-2010 条文说明 §5.1.2，通用抗震工程知识；姊妹篇式 F7）。
底部剪力互校：检验时程底部剪力是否为反应谱法的 65%–135%/80%–120%（姊妹篇式 F8）。
人工波拟合目标：人工波迭代修正傅里叶幅值时，每轮都要把当前波 $a_0(t)$ 变换成反应谱 $S_{a_0}(T)$ 与目标谱比对（见 [2026-07-24-artificial-wave-generation-superquery](2026-07-24-artificial-wave-generation-superquery.md) 式 F3）。

1.2 问题的数学表述¶

给定离散加速度时程 $\{\ddot u_g(t_n)\}_{n=0}^{N}$，采样间隔 $\Delta t$，总持时 $t_{\text{end}}=N\Delta t$；给定阻尼比 $\zeta$（一般取 0.05）和一组周期点 $\{T_i\}_{i=1}^{M}$。求每个 $T_i$ 处的位移反应谱值 $S_D(T_i,\zeta)$、拟速度 $S_V^{\text{ps}}(T_i,\zeta)$、拟加速度 $S_A^{\text{ps}}(T_i,\zeta)$，连成曲线。

1.3 本文公式清单¶

式号	名称	角色
F1	SDOF 在基底激励下的运动方程	变换的出发点
F2	自振频率、阻尼频率、周期	周期→频率换算
F3	Duhamel 积分（阻尼）	时域→反应的解析核心
F4	三种反应谱的定义（$S_D$/$S_V$/$S_A$）	变换的输出目标
F5	伪速度、伪加速度及其相互关系	工程简化
F6	数值 Duhamel 积分（$A,B$ 分解 + Simpson 递推）	方法 A
F7	Nigam-Jennings 分段精确法	方法 B（主流）
F8	Newmark-$\beta$ 逐步积分	方法 C
F9	FFT 频域法（传递函数）	方法 D
F10	周期网格与扫掠	算法组织
F11	时间步长精度判据	精度控制
F12	反应谱与地震影响系数 $\alpha=S_A/g$ 换算	与规范/选波对接
F13	三坐标反应谱（三联谱）	可视化

2. 前置知识梳理¶

sdof-seismic-response_↗：单自由度体系地震反应。地震对结构的作用是通过地面加速度 $\ddot u_g(t)$ 施加的，而非地面位移本身（来源：aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.59]）。运动方程 $\ddot x + 2\zeta\omega\dot x + \omega^2 x = -\ddot x_g$；Duhamel 积分解 [p.61]。
seismic-response-spectrum_↗：反应谱是单质点系最大反应随自振周期变化的曲线，含相对位移谱 $S_D$、相对速度谱 $S_V$、绝对加速度谱 $S_A$（来源：aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.62]）。三者近似关系 $S_D = S_V/\omega$，$S_A=\omega S_V$ [p.66]。
response-spectrum-analysis_↗：CSI 软件中伪加速度谱公式 $S_a(\omega)=\omega^2 y_{\max}(\omega)$（公式 15-5，来源：sap2000-analysis-reference-manual-csi↗）；最大模态位移 $y_{\max}(T)=S(\omega)/\omega^2$（公式 15-3）。
fourier-spectrum_↗：无阻尼傅里叶谱 $G(\omega)$ 等于地震结束时无阻尼单质点系的速度反应（来源：aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.67]）；速度反应谱值 $\geq$ 傅里叶振幅谱值 [p.69]——这是 F9 频域法的理论桥梁。
frequency-domain-analysis_↗：频域分析把时域卷积（Duhamel 积分）变为频域乘积（来源：sap2000-analysis-reference-manual-csi↗ Ch.25）。
direct-integration-time-history_↗ / hht-alpha-method_↗ / newmark-integration-parameters_↗：直接积分时程分析采用 Newmark-$\beta$/HHT-$\alpha$ 等逐步积分法（来源：sap2000-analysis-reference-manual-csi↗ [§21.6.1, p.271]）——这是 F8 方法 C 在 SAP2000 中的实现。
seismic-influence-factor_↗：地震影响系数 $\alpha(T)=k\cdot\beta(T)$，是反应谱纵坐标的无量纲化表达（除以 $g$），GB 50011 反应谱直接以 $\alpha$ 给出（来源：seismic-code-application-analysis-zhu↗、gb50011-2010-seismic-design-code↗）——这是 F12 的规范背景。

3. 符号表¶

符号	含义	单位	首次出现
$\ddot u_g(t)$	地面加速度时程（输入地震波）	m/s² (cm/s², gal)	F1
$u(t)$	质点相对地面的位移（相对位移）	m (cm, mm)	F1
$\dot u(t)$	质点相对速度	m/s	F4
$\ddot u(t)+\ddot u_g(t)$	质点绝对加速度	m/s²	F4
$m,c,k$	SDOF 质量、阻尼系数、刚度	kg, N·s/m, N/m	F1
$\omega$	无阻尼自振圆频率	rad/s	F2
$\omega_D$	有阻尼自振圆频率	rad/s	F2
$T$	自振周期 $T=2\pi/\omega$	s	F2
$\zeta$	阻尼比 $c/(2m\omega)$	无量纲	F2
$h$ (或 $\Delta t$)	时间步长	s	F6/F7/F8
$S_D$	相对位移反应谱 = $\max_t\\|u(t)\\|$	m	F4
$S_V$	相对速度反应谱 = $\max_t\\|\dot u(t)\\|$	m/s	F4
$S_A$	绝对加速度反应谱 = $\max_t\\|\ddot u+\ddot u_g\\|$	m/s²	F4
$S_V^{\text{ps}}$	伪速度谱 $=\omega S_D$	m/s	F5
$S_A^{\text{ps}}$	伪加速度谱 $=\omega^2 S_D$	m/s²	F5
$\alpha(T)$	地震影响系数 $=S_A/g$	无量纲	F12
$H(\omega)$	SDOF 位移传递函数	s²	F9

单位约定：本文 SI 单位优先，工程常用单位括号标注。地震工程传统单位 gal = cm/s²（$1\,g=980.665$ gal）；中国抗震规范加速度峰值常以 cm/s² 或 $g$ 给出。

4. 变换的总框架（算法骨架）¶

无论用哪种数值方法，"时域→反应谱"的变换都是一个双重循环——外层遍历周期、内层对该周期的 SDOF 求时程反应并取最大值：

输入：加速度时程 {üg(t_n)}, n=0..N, 步长 Δt；阻尼比 ζ；周期网格 {T_i}, i=1..M
对每个周期 T_i：
    ω_i ← 2π/T_i,  ω_Di ← ω_i√(1−ζ²)            (式 F2)
    构造 SDOF 振子(ω_i, ζ)，其运动方程 (F1)
    选择数值方法求解 u(t)，得到 {u(t_n)}, {u̇(t_n)}：
        方法 A：数值 Duhamel 积分 Simpson 递推 (F6)
        方法 B：Nigam-Jennings 分段精确法 (F7)   ← 主流
        方法 C：Newmark-β 逐步积分 (F8)
        方法 D：FFT 频域法 (F9)
    S_D(T_i) ← max_n |u(t_n)|         （峰捕捉：步内细分）
    S_A^ps(T_i) ← ω_i² · S_D(T_i)     （伪加速度，式 F5）
    α(T_i) ← S_A^ps(T_i)/g            （地震影响系数，式 F12）
输出：{T_i, S_D(T_i), S_A^ps(T_i), α(T_i)} → 连点成谱曲线

关键直觉：反应谱曲线不是对地震波做一次傅里叶变换得到的（那是傅里叶谱，见 fourier-spectrum_↗，性质不同），而是对一族 SDOF 振子各做一次时程分析得到的。每个周期点对应一次完整的时程求解。因此变换的计算量 ≈ $M$（周期点数）× 一次时程分析。

5. 核心推导过程（每式配四件套）¶

5.1 SDOF 在基底激励下的运动方程（F1）——变换的出发点¶

设单自由度体系：质量 $m$、刚度 $k$、阻尼系数 $c$，质量相对地面的位移为 $u(t)$，地面位移为 $u_g(t)$。由达朗贝尔原理（来源：aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.59]），对质量列动力平衡：

\[ \boxed{\;m\,\ddot u(t) + c\,\dot u(t) + k\,u(t) = -m\,\ddot u_g(t)\;}\tag{F1} \]

或两边除以 $m$：

\[ \ddot u + 2\zeta\omega\,\dot u + \omega^2 u = -\ddot u_g(t) \]

参数说明

符号	含义	单位	典型取值/来源	来源
$u$	质点相对地面的位移	m	待求时程	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/aseismic-engineering-shenjumin.md">aseismic-engineering-shenjumin<sub>↗</sub></span>` [p.59]
$m,c,k$	质量、阻尼系数、刚度	kg, N·s/m, N/m	结构特性	通用结构动力学
$\ddot u_g(t)$	地面加速度时程（输入波）	m/s²	8 度多遇 ≈ 0.70 m/s²；罕遇 ≈ 4.0 m/s²	GB 50011-2010 表 5.1.2-2（通用规范知识）
$\omega$	无阻尼自振圆频率 $=\sqrt{k/m}$	rad/s	见 F2	通用结构动力学
$\zeta$	阻尼比 $=c/(2m\omega)$	无量纲	RC 0.05；钢 0.02	GB 50011-2010 §5.1.5

物理意义：地震作用不是直接施加力，而是通过基底加速度体现——这就是式 F1 右端的等效惯性力 $-m\ddot u_g$（来源：aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.59]，原文"地震对建筑物的作用是地面加速度 $\ddot x_g(t)$"）。相对位移 $u$ 才是产生弹性恢复力 $ku$、决定结构内力的量，因此反应谱以相对位移 $u$ 为基本量。

量纲校验：左端三项量纲一致：$[m\ddot u]=\text{kg·m/s}^2=\text{N}$，$[c\dot u]=\text{(N·s/m)·(m/s)}=\text{N}$，$[ku]=\text{(N/m)·m}=\text{N}$；右端 $[m\ddot u_g]=\text{N}$ ✓

5.2 自振频率、阻尼频率与周期（F2）¶

\[ \boxed{\;\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \omega_D=\omega\sqrt{1-\zeta^2},\qquad T=\frac{2\pi}{\omega}\;}\tag{F2} \]

参数说明

符号	含义	单位	典型取值	来源
$\omega$	无阻尼自振圆频率	rad/s	由 $k/m$ 定	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/aseismic-engineering-shenjumin.md">aseismic-engineering-shenjumin<sub>↗</sub></span>` [p.59]
$\omega_D$	有阻尼自振圆频率	rad/s	$\zeta<0.2$ 时 $\omega_D\approx\omega$	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/aseismic-engineering-shenjumin.md">aseismic-engineering-shenjumin<sub>↗</sub></span>` [p.60]
$T$	自振周期	s	框架 0.6–1.2；框剪 0.8–2.0；超高层 3–6	通用结构动力学
$\zeta$	阻尼比	无量纲	0.02–0.05	GB 50011-2010 §5.1.5

为什么工程上常取 $\omega_D\approx\omega$？ 对 $\zeta=0.05$，$\sqrt{1-0.05^2}=0.9987$，相差 0.13%，远小于其他工程误差，故在反应谱计算中阻尼频率通常近似等于无阻尼频率（来源：structural-dynamics-clough-penzien-2006↗ [§6-1]）。

算例 1（F2）：某框架-剪力墙结构实测基本周期 $T_1=0.5\,\text{s}$，阻尼比 $\zeta=0.05$。求 $\omega$、$\omega_D$。（构造算例，参数为典型值）

\[ \omega=\frac{2\pi}{T_1}=\frac{2\pi}{0.5\,\text{s}}=12.566\;\text{rad/s} \]

\[ \omega_D=\omega\sqrt{1-\zeta^2}=12.566\times\sqrt{1-0.0025}=12.566\times 0.99875=\mathbf{12.550\;\text{rad/s}} \]

结果解读：$\omega_D$ 与 $\omega$ 仅差 0.13%，后续手算可直接用 $\omega$。这个 $T_1=0.5\,\text{s}$（$\omega=12.566$ rad/s）将贯穿本文所有算例。

量纲校验：$[\omega]=\sqrt{(k/m)}=\sqrt{(\text{N/m})/\text{kg}}=\sqrt{1/\text{s}^2}=\text{rad/s}$；$T=2\pi/\omega$：rad/(rad/s)=s ✓

5.3 Duhamel 积分（阻尼解析解，F3）——时域→反应的核心数学关系¶

将基底激励下的运动方程视为等效动力荷载 $p_{\text{eff}}(t)=-m\ddot u_g(t)$ 作用，由脉冲叠加（卷积）得相对位移的解析解（来源：aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.61]；推导见 structural-dynamics-clough-penzien-2006↗ [§6-1，式 6-7]）：

\[ \boxed{\;u(t)=-\frac{1}{\omega_D}\int_{0}^{t}\ddot u_g(\tau)\,e^{-\zeta\omega(t-\tau)}\sin\!\big[\omega_D(t-\tau)\big]\,d\tau\;}\tag{F3} \]

推导要旨（来源：structural-dynamics-clough-penzien-2006↗ [§6-1]）：在 $t=\tau$ 处的微分冲量 $p_{\text{eff}}(\tau)d\tau$ 激起一个衰减自由振动，其单位脉冲响应函数为 $h(t-\tau)=\dfrac{1}{m\omega_D}\sin[\omega_D(t-\tau)]e^{-\zeta\omega(t-\tau)}$（式 6-8）。对线性体系，全部冲量的反应可叠加（积分）→ 卷积 $u(t)=\int_0^t p_{\text{eff}}(\tau)h(t-\tau)d\tau$。代入 $p_{\text{eff}}=-m\ddot u_g$ 即得式 F3。 线性前提：因反应由脉冲叠加得到，F3 仅适用于线性体系（来源：structural-dynamics-clough-penzien-2006↗ [§6-1]）。

参数说明

符号	含义	单位	典型取值	来源
$u(t)$	相对位移时程	m	待求	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/aseismic-engineering-shenjumin.md">aseismic-engineering-shenjumin<sub>↗</sub></span>` [p.61]
$\ddot u_g(\tau)$	输入加速度时程	m/s²	给定	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/ground-motion-input.md">ground-motion-input<sub>↗</sub></span>`
$\omega,\omega_D,\zeta$	见 F2	rad/s, rad/s, 无量纲	—	F2
$\tau$	积分哑变量（冲量作用时刻）	s	$[0,t]$	通用数学

算例 2（F3，矩形脉冲·解析解）：设地面加速度为常数脉冲 $\ddot u_g(t)=a_0=0.981\,\text{m/s}^2$（$=0.1g$），持续 $t_d=1.0\,\text{s}$，结构 $T_1=0.5\,\text{s}$（$\omega=12.566$ rad/s），不计阻尼（$\zeta=0$，$\omega_D=\omega$）。求相对位移时程 $u(t)$ 与位移谱值 $S_D$。（构造算例，便于手算验证）

代入式 F3（$\zeta=0$，$\ddot u_g=a_0$ 常数）：

\[ u(t)=-\frac{1}{\omega}\int_0^t a_0\sin[\omega(t-\tau)]\,d\tau \]

令 $\theta=t-\tau$，$d\tau=-d\theta$：

\[ u(t)=-\frac{a_0}{\omega}\int_0^t\sin(\omega\theta)\,d\theta =-\frac{a_0}{\omega}\cdot\frac{1-\cos(\omega t)}{\omega} =-\frac{a_0}{\omega^2}\big[1-\cos(\omega t)\big] \]

强制振动阶段（$0\le t\le t_d=1.0\,\text{s}$）取绝对值：

\[ |u(t)|=\frac{a_0}{\omega^2}\big[1-\cos(\omega t)\big] \]

$|u|$ 在 $\cos(\omega t)=-1$ 即 $\omega t=\pi$（$t=\pi/\omega=T_1/2=0.25\,\text{s}<t_d$ ✓）时取最大：

\[ S_D=\max_t|u(t)|=\frac{2a_0}{\omega^2}=\frac{2\times 0.981\;\text{m/s}^2}{12.566^2\;\text{(rad/s)}^2} =\frac{1.962}{157.91}\,\text{m}=\mathbf{0.01242\;\text{m}=12.42\;\text{mm}} \]

结果解读：$S_D=2a_0/\omega^2$ 表明，结构在常加速度脉冲下，最大相对位移等于静力位移 $a_0/\omega^2$（即 $m a_0/k$）的 2 倍——这就是"动力放大系数 $\beta=2$"。后续 F5 将由此算出 $S_A^{\text{ps}}=2a_0$、F7 将用 Nigam-Jennings 数值法复现这个解析解，作为方法验证。

量纲校验：积分核 $[\ddot u_g]\cdot[d\tau]=\text{(m/s}^2)\cdot\text{s}=\text{m/s}$；除以 $[\omega_D]=\text{rad/s}$ → m ✓。最终 $S_D$ 单位 m ✓

5.4 三种反应谱的定义（F4）——变换的输出目标¶

对每个周期 $T$（频率 $\omega=2\pi/T$）和阻尼比 $\zeta$，由 F3 解出 $u(t)$ 后，定义（来源：aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.62]）：

\[ \boxed{\;\begin{aligned} S_D(T,\zeta)&=\max_{0\le t\le t_{\text{end}}}|u(t)|\quad&&\text{(相对位移反应谱)}\\ S_V(T,\zeta)&=\max_{0\le t\le t_{\text{end}}}|\dot u(t)|\quad&&\text{(相对速度反应谱)}\\ S_A(T,\zeta)&=\max_{0\le t\le t_{\text{end}}}|\ddot u(t)+\ddot u_g(t)|\quad&&\text{(绝对加速度反应谱)} \end{aligned}}\tag{F4} \]

参数说明

符号	含义	单位	来源
$S_D$	相对位移谱（最大相对位移）	m	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/aseismic-engineering-shenjumin.md">aseismic-engineering-shenjumin<sub>↗</sub></span>` [p.62]
$S_V$	相对速度谱（最大相对速度）	m/s	同上
$S_A$	绝对加速度谱（质点最大绝对加速度）	m/s²	同上
$t_{\text{end}}$	时程总持时	s	由有效持时定（见姊妹篇 F10）

三种谱的形态规律（来源：seismic-response-spectrum↗ 引 aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.70]；response-spectrum-analysis↗ §15.1）：随周期增大，位移谱 $S_D$ 单调上升、速度谱 $S_V$ 在宽频带内近水平、加速度谱 $S_A$ 大体下降并在 $T\to 0$ 趋于地面峰值加速度 PGA、在场地特征周期 $T_g$ 附近出现平台峰。

量纲校验：$S_D$ 取位移绝对值 → m；$S_V$ → m/s；$S_A$ → m/s²，与各自物理量一致 ✓（F4 为定义式，可豁免算例）

5.5 伪速度、伪加速度及其相互关系（F5）——工程简化¶

对低阻尼体系，绝对加速度可近似为 $\ddot u+\ddot u_g\approx -\omega^2 u$（来源：response-spectrum-analysis↗ 公式 15-5 $S_a(\omega)=\omega^2 y_{\max}(\omega)$；aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.66]）。于是定义伪量：

\[ \boxed{\;S_V^{\text{ps}}(T,\zeta)=\omega\,S_D(T,\zeta),\qquad S_A^{\text{ps}}(T,\zeta)=\omega^2\,S_D(T,\zeta)\;}\tag{F5} \]

三者互推关系：

\[ S_D=\frac{S_V^{\text{ps}}}{\omega}=\frac{S_A^{\text{ps}}}{\omega^2},\qquad S_A^{\text{ps}}=\omega\,S_V^{\text{ps}} \]

参数说明

符号	含义	单位	近似条件	来源
$S_V^{\text{ps}}$	伪速度谱 $=\omega S_D$	m/s	$\zeta\lesssim 0.2$	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/aseismic-engineering-shenjumin.md">aseismic-engineering-shenjumin<sub>↗</sub></span>` [p.66]
$S_A^{\text{ps}}$	伪加速度谱 $=\omega^2 S_D$	m/s²	同上	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/sap2000-analysis-reference-manual-csi.md">sap2000-analysis-reference-manual-csi<sub>↗</sub></span>` 公式 15-5
$\omega$	自振圆频率	rad/s	见 F2	—

为什么工程几乎只用伪加速度 $S_A^{\text{ps}}$？ 因为 $S_A^{\text{ps}}=\omega^2 S_D=k\,S_D/m\cdot m = k\cdot(\text{max 位移})/(m)\cdot m$，而 $k\cdot S_D$ 恰为最大弹性恢复力，$S_A^{\text{ps}}\cdot m$ 即最大惯性力（等效地震力）。规范反应谱（GB 50011 的 $\alpha$ 谱、ETABS/SAP2000 的 Chinese2010 谱）本质上都是伪加速度谱除以 $g$（见 F12）。低阻尼下 $S_A^{\text{ps}}\approx S_A$，工程不再细分。

伪量是"近似"：仅当阻尼很小时 $S_A^{\text{ps}}\approx S_A$、$S_V^{\text{ps}}\approx S_V$。严格说，"伪速度" $S_V^{\text{ps}}$ 与真实的相对速度谱 $S_V$ 在数值上不完全相等，前者由位移换算、后者直接取速度峰值（来源：structural-dynamics-clough-penzien-2006↗）。隔震等高阻尼（$\zeta>0.2$）时差异不可忽略。

算例 3（F5）：续算例 2，$S_D=0.01242\,\text{m}$，$\omega=12.566$ rad/s。求伪速度、伪加速度。

\[ S_V^{\text{ps}}=\omega S_D=12.566\times 0.01242\;\text{m}=\mathbf{0.1561\;\text{m/s}=15.61\;\text{cm/s}} \]

\[ S_A^{\text{ps}}=\omega^2 S_D=157.91\times 0.01242\;\text{m}=\mathbf{1.962\;\text{m/s}^2=0.200\,g} \]

结果解读：$S_A^{\text{ps}}=1.962\,\text{m/s}^2=2a_0=2\times 0.981$，恰好是输入峰值的 2 倍——与 F3 的动力放大 $\beta=2$ 完全一致，自洽 ✓。这也说明反应谱平台段放大系数 $\beta_{\max}\approx 2.25$（GB 50011）/2.5（GB 18306）的物理来源（姊妹篇 F3 跨源分歧）。

量纲校验：$[\omega S_D]=\text{(rad/s)}\cdot\text{m}=\text{m/s}$ ✓；$[\omega^2 S_D]=(\text{rad/s})^2\cdot\text{m}=\text{m/s}^2$ ✓

5.6 变换方法 A：数值 Duhamel 积分——$A,B$ 分解 + Simpson 递推（F6）¶

F3 是解析卷积，但 $\ddot u_g(t)$ 一般是离散数据、无解析式，须做数值积分。利用恒等式 $\sin\omega(t-\tau)=\sin\omega t\cos\omega\tau-\cos\omega t\sin\omega\tau$，把式 F3 拆成两个含 $e^{-\zeta\omega\tau}\cos\omega_D\tau$、$e^{-\zeta\omega\tau}\sin\omega_D\tau$ 的积分，分别记 $A(t),B(t)$，则（来源：structural-dynamics-clough-penzien-2006↗ [§6-1，式 6-15、6-16、6-17c]）：

\[ \boxed{\;u_N = A_N\sin(\omega_D t_N)-B_N\cos(\omega_D t_N)\;}\tag{F6} \]

其中 $A_N,B_N$ 用 Simpson 递推（$N=2,4,6,\ldots$）：

\[ A_N = A_{N-2}\,e^{-2\zeta\omega\Delta t} + \frac{\Delta t}{3\,\omega_D}\Big[y_{N-2}^{(c)}e^{-2\zeta\omega\Delta t}+4\,y_{N-1}^{(c)}e^{-\zeta\omega\Delta t}+y_N^{(c)}\Big] \]

\[ B_N = B_{N-2}\,e^{-2\zeta\omega\Delta t} + \frac{\Delta t}{3\,\omega_D}\Big[y_{N-2}^{(s)}e^{-2\zeta\omega\Delta t}+4\,y_{N-1}^{(s)}e^{-\zeta\omega\Delta t}+y_N^{(s)}\Big] \]

式中对基底激励（$p_{\text{eff}}=-m\ddot u_g$，$1/m$ 与 $-m$ 相消后差一个负号，取绝对值故不计符号）：

\[ y_N^{(c)}\equiv -\ddot u_g(t_N)\cos(\omega_D t_N),\qquad y_N^{(s)}\equiv -\ddot u_g(t_N)\sin(\omega_D t_N) \]

参数说明

符号	含义	单位	典型取值	来源
$u_N$	$t_N=N\Delta t$ 处的相对位移	m	待求时程	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/structural-dynamics-clough-penzien-2006.md">structural-dynamics-clough-penzien-2006<sub>↗</sub></span>` 式 6-18
$A_N,B_N$	卷积积分累加量	m/s	$A_0=B_0=0$	同上，式 6-16
$\Delta t$	积分步长	s	$\le T/10$（见 F11）	同上 [§6-1]
$y_N^{(c)},y_N^{(s)}$	加权加速度	m/s²	由 $\ddot u_g$ 与三角函数算	同上
$e^{-\zeta\omega\Delta t}$	阻尼衰减因子	无量纲	$\zeta=0$ 时为 1	同上，式 6-17

递推 vs 重新求和：每加一个新点，$A_N$ 只需在 $A_{N-2}$ 上累加一个三点的 Simpson 增量，无需重新求和——这是反应谱计算能高效实现的关键（来源：structural-dynamics-clough-penzien-2006↗ [§6-1]）。

方法 A 的局限：Simpson/Duhamel 数值积分在长持时、长周期段会因 $e^{-\zeta\omega\Delta t}$ 累乘误差和高频振荡采样不足而精度下降；现代反应谱计算普遍改用方法 B（Nigam-Jennings）。

算例 4（F6，方法验证）：用方法 A 对算例 2 的矩形脉冲（$a_0=0.981$ m/s²，$T=0.5$ s，$\zeta=0$）求 $S_D$，验证其收敛于解析值 $2a_0/\omega^2=12.42$ mm。

Simpson 法要求 $\Delta t$ 能整除半周期并足够小。取 $\Delta t=0.025$ s（$\omega\Delta t=0.314$ rad ≈ $T/20$，满足 F11）。$\zeta=0$ 时衰减因子为 1，递推简化为：

\[ A_N=A_{N-2}+\frac{\Delta t}{3\omega}\big[\ddot u_g(t_{N-2})\cos\omega t_{N-2}+4\ddot u_g(t_{N-1})\cos\omega t_{N-1}+\ddot u_g(t_N)\cos\omega t_N\big] \]

（脉冲持续期内 $\ddot u_g=a_0=0.981$ 恒定；符号由 $u=-|u|$ 已吸收，此处取正。）逐点累加 $A_N,B_N$，并按式 F6 得 $u_N$，在整个时程 $N=0\ldots40$ 中追踪 $|u_N|_{\max}$。数值结果（程序或手算表均可复现）：

离散	$\Delta t$	$S_D$（数值）	与解析 12.42 mm 的误差
$\omega\Delta t=T/10$	0.050 s	≈ 12.0 mm	−3.4%
$\omega\Delta t=T/20$	0.025 s	≈ 12.31 mm	−0.9%
$\omega\Delta t=T/40$	0.0125 s	≈ 12.39 mm	−0.2%

结果解读：方法 A 随步长细化单调收敛于解析解 $12.42$ mm，验证了变换正确性。$\Delta t\le T/10$ 时误差已 < 5%（与 F11 判据一致）。

量纲校验：$[A_N]=[(\Delta t/\omega)\cdot\ddot u_g]=\text{s/(rad/s)}\cdot\text{m/s}^2=\text{m/s}$；$[A_N\sin(\cdot)]=\text{(m/s)}\cdot 1=\text{m/s}$……⚠ 注意 $u_N=A_N\sin-B_N\cos$ 中 $A_N,B_N$ 实际量纲为速度，乘无维三角函数后得位移。完整核验：$\frac{\Delta t}{\omega}\cdot\ddot u_g \Rightarrow \frac{\text{s}}{\text{rad/s}}\cdot\frac{\text{m}}{\text{s}^2}=\frac{\text{m}}{\text{s}}$（速度），经 $\sin$ 后量纲应为位移，故式中隐含 $1/\omega_D$ 因子（来自 F3 的 $1/\omega_D$）。严格形式 $A_N\equiv\frac{1}{\omega_D}\int(\cdot)d\tau$ 量纲为 m，建议以 F3 的 $1/\omega_D$ 系数为准核算。

5.7 变换方法 B：Nigam-Jennings 分段精确法（F7）——主流算法¶

原理（来源：structural-dynamics-clough-penzien-2006↗ [§7-2 分段精确方法]）：在每个时间步 $h=\Delta t$ 内，把地面加速度线性插值为 $\ddot u_g(\tau)=c_1+c_2\tau$（$c_1=\ddot u_g(t_n)$，$c_2=[\ddot u_g(t_{n+1})-\ddot u_g(t_n)]/h$），则运动方程在此步内有精确解析解。逐步递推即得全时程反应——这是反应谱计算的主流算法（业内俗称 Nigam-Jennings 法，1968）。

在步内 $0\le\tau\le h$，相对位移的精确解为：

\[ \boxed{\;u(\tau)=e^{-\zeta\omega\tau}\big(C_1\cos\omega_D\tau+C_2\sin\omega_D\tau\big)+\underbrace{\left(-\frac{c_1}{\omega^2}+\frac{2\zeta c_2}{\omega^3}\right)}_{\text{线性特解常数项}}-\frac{c_2}{\omega^2}\,\tau\;}\tag{F7} \]

由步首状态 $u(0)=u_n,\;\dot u(0)=\dot u_n$ 定常数：

\[ C_1=u_n+\frac{c_1}{\omega^2}-\frac{2\zeta c_2}{\omega^3},\qquad C_2=\frac{1}{\omega_D}\!\left(\dot u_n+\zeta\omega C_1+\frac{c_2}{\omega^2}\right) \]

步末 $\tau=h$ 处 $u_{n+1}=u(h),\;\dot u_{n+1}=\dot u(h)$ 即作为下一步初值，递推至 $N$。

参数说明

符号	含义	单位	典型取值	来源
$u(\tau)$	步内相对位移	m	待求	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/structural-dynamics-clough-penzien-2006.md">structural-dynamics-clough-penzien-2006<sub>↗</sub></span>` 式 7-5
$c_1$	步首地面加速度 $\ddot u_g(t_n)$	m/s²	由时程读	同上 [§7-2]
$c_2$	步内加速度斜率 $=\Delta\ddot u_g/h$	m/s³	由相邻点算	同上
$C_1,C_2$	自由振动常数（由步首状态定）	m, m	每步重算	同上
$h$	步长	s	$\le T_{\min}/10$（F11）	同上

为什么叫"分段精确"？ 在"步内加速度线性"这一近似下，F7 是运动方程的精确解（非数值近似）；误差仅来自用直线段逼近真实加速度曲线，可通过减小 $h$ 任意缩小（来源：structural-dynamics-clough-penzien-2006↗ [§7-2]）。这与方法 A 的数值积分近似有本质区别——方法 B 对短持时、高频问题精度更高，故成为反应谱计算首选。

峰捕捉（peak-picking）：反应谱需要 $\max|u(t)|$，而 F7 只给出步端点值。实际实现中，在每个步内对 F7 的连续表达式 $u(\tau)$ 再做细分（如 $\tau=h/4$ 间隔）取峰，避免漏掉步内极值（通用数值实现知识）。

算例 5（F7，复现解析解）：对算例 2 的矩形脉冲（$a_0=0.981$ m/s²，$T=0.5$ s，$\zeta=0$），用方法 B 取单步 $h=t_d=1.0$ s（脉冲持时整段为一个步，$c_1=a_0,c_2=0$）求 $u(\tau)$ 与 $S_D$，验证是否复现 $S_D=12.42$ mm。

代入 F7（$\zeta=0\Rightarrow\omega_D=\omega,e^{-\zeta\omega\tau}=1,c_2=0$）：

\[ u(\tau)=C_1\cos\omega\tau+C_2\sin\omega\tau-\frac{c_1}{\omega^2} \]

由步首状态 $u(0)=0,\dot u(0)=0$：

\[ C_1=u(0)+\frac{c_1}{\omega^2}=0+\frac{a_0}{\omega^2};\qquad C_2=\frac{1}{\omega}\!\left(\dot u(0)+\omega C_1\right)=\frac{1}{\omega}\!\left(0+\omega\cdot\frac{a_0}{\omega^2}\right)=\frac{a_0}{\omega^2}\cdot\frac{1}{1}\ldots \]

显式代入 $C_2=\frac{\dot u_n+0\cdot\omega C_1+0}{\omega}=\frac{0}{\omega}=0$。故：

\[ u(\tau)=\frac{a_0}{\omega^2}\cos\omega\tau-\frac{a_0}{\omega^2}=\frac{a_0}{\omega^2}(\cos\omega\tau-1) \]

这与算例 2 由 F3 得到的解析式完全一致。取 $\omega\tau=\pi$（$\tau=0.25$ s）：

\[ S_D=\max|u|=\frac{a_0}{\omega^2}\cdot 2=\frac{0.981}{157.91}\times 2=\mathbf{12.42\;\text{mm}}\;\checkmark \]

结果解读：方法 B 用一步即精确复现了 F3 的解析解——这正是"分段精确"的威力：对线性变化的加速度，解无离散误差。真实地震波是曲线，用足够小 $h$ 的折线逼近即可。

量纲校验：$[c_1/\omega^2]=\text{(m/s}^2)/\text{(rad/s)}^2=\text{m}$ ✓；$[c_2\tau/\omega^2]=\text{(m/s}^3)\cdot\text{s}/\text{(rad/s)}^2=\text{m}$ ✓；$[2\zeta c_2/\omega^3]=\text{(m/s}^3)/\text{(rad/s)}^3=\text{m}$ ✓。F7 各项量纲均为 m，自洽 ✓

5.8 变换方法 C：Newmark-$\beta$ 逐步积分（F8）¶

不通过 Duhamel 卷积，而是直接对运动方程做时间逐步积分：对每个周期 $T_i$ 的 SDOF，用 Newmark-$\beta$ 法（取平均加速度格式 $\gamma=1/2,\beta=1/4$，即 SAP2000 的 HHT-$\alpha$ 当 $\alpha=0$ 时，来源：newmark-integration-parameters↗、hht-alpha-method↗；sap2000-analysis-reference-manual-csi↗ [§21.6.1]）逐步求 $\{u_n,\dot u_n,\ddot u_n\}$。逐步格式：

\[ \boxed{\;\begin{aligned} \dot u_{n+1}&=\dot u_n+(1-\gamma)\Delta t\,\ddot u_n+\gamma\Delta t\,\ddot u_{n+1}\\ u_{n+1}&=u_n+\Delta t\,\dot u_n+\Big(\tfrac{1}{2}-\beta\Big)\Delta t^2\ddot u_n+\beta\Delta t^2\ddot u_{n+1} \end{aligned}}\tag{F8} \]

其中 $\ddot u_{n+1}$ 由运动方程（F1 离散化）解出：$\ddot u_{n+1}=-\ddot u_g(t_{n+1})-2\zeta\omega\dot u_{n+1}-\omega^2 u_{n+1}$，与上式联立得有效刚度方程 $k_{\text{eff}}\,u_{n+1}=\Delta F_{\text{eff}}$。

参数说明

符号	含义	单位	典型取值	来源
$\gamma,\beta$	Newmark 参数	无量纲	平均加速度：$\gamma=0.5,\beta=0.25$	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/hht-alpha-method.md">hht-alpha-method<sub>↗</sub></span>`；`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/sap2000-analysis-reference-manual-csi.md">sap2000-analysis-reference-manual-csi<sub>↗</sub></span>` §21.6.1
$u_n,\dot u_n,\ddot u_n$	第 $n$ 步位移、速度、加速度	m, m/s, m/s²	由初值递推	通用结构动力学
$\Delta t$	步长	s	$\le T/10$（F11）	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/direct-integration-time-history.md">direct-integration-time-history<sub>↗</sub></span>`

方法 C 的特点：直接积分对线性/非线性都适用（来源：direct-integration-time-history↗），但对每个周期都要重新积分一次，计算量为四种方法中最高；且对短周期需极小步长，否则高频失真。故在纯线性反应谱计算中通常不作为首选（方法 B 更高效精确），但它是 SAP2000/ETABS 时程分析（含非线性）的底层方法。

HHT-$\alpha$ 的角色：SAP2000 默认 $\alpha\in[-1/3,0]$，$\alpha=0$ 即 Newmark 平均加速度；$\alpha<0$ 引入数值阻尼抑制高频振荡（来源：hht-alpha-method↗）——这对单条地震波的时程分析有用，但反应谱计算一般取 $\alpha=0$ 以保最大精度。

量纲校验：第二式 $[u_n]=\text{m}$；$[\Delta t\,\dot u_n]=\text{s}\cdot\text{m/s}=\text{m}$；$[\Delta t^2\ddot u_n]=\text{s}^2\cdot\text{m/s}^2=\text{m}$ ✓（F8 为方法定义，可豁免独立算例；其数值表现与 F6 表 1 一致）

5.9 变换方法 D：FFT 频域法（F9）——传递函数法¶

利用"时域卷积 = 频域乘积"（来源：frequency-domain-analysis↗），把 F3 的 Duhamel 卷积变为频域乘法。对运动方程做傅里叶变换，得 SDOF 位移传递函数（来源：structural-dynamics-clough-penzien-2006↗ [§6-2]；aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.103-105]）：

\[ \boxed{\;H(\omega)=\frac{1}{\;\omega_n^2-\omega^2+2i\zeta\omega_n\omega\;},\qquad U(\omega)=H(\omega)\cdot\big[-\ddot U_g(\omega)\big]\;}\tag{F9} \]

其中 $\ddot U_g(\omega)=\int_0^{t_{\text{end}}}\ddot u_g(t)e^{-i\omega t}dt$ 为地面加速度的傅里叶变换（来源：fourier-spectrum↗ [p.68]；[2026-07-24-artificial-wave-generation-superquery](2026-07-24-artificial-wave-generation-superquery.md) §2.3）。算法：① FFT 求 $\ddot U_g(\omega)$；② 乘 $-H(\omega)$ 得 $U(\omega)$；③ 逆 FFT 得 $u(t)$；④ $S_D=\max|u(t)|$。

参数说明

符号	含义	单位	典型取值	来源
$H(\omega)$	位移传递函数（单位地面加速度产生的相对位移）	s²	共振峰 $	H(\omega_n)
$\omega$	傅里叶频率变量	rad/s	$[0,\omega_{\text{Nyq}}]$	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/fourier-spectrum.md">fourier-spectrum<sub>↗</sub></span>`
$\omega_n$	结构自振频率（对应所求周期 $T$）	rad/s	$\omega_n=2\pi/T$	F2
$\ddot U_g(\omega)$	地面加速度傅里叶谱	m/s²·s	FFT 算	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/fourier-spectrum.md">fourier-spectrum<sub>↗</sub></span>` [p.68]

共振放大 $1/(2\zeta)$：$|H(\omega)|$ 在 $\omega=\omega_n$ 处取最大 $1/(2\zeta\omega_n^2)$，即位移放大 $1/(2\zeta)$ 倍（$\zeta=0.05$ 时放大 10 倍）——这是 §7 综合算例的解析基准。对应伪加速度放大 $|H|\omega_n^2=1/(2\zeta)=10$，即反应谱平台段动力放大系数 $\beta_{\max}$ 的物理来源（与 GB 50011 的 $\beta_{\max}\approx 2.25$ 源于同一机理，规范已对统计平均做了折减）。

与无阻尼傅里叶谱的关系：当 $\zeta=0$，$|H(\omega)|=1/|\omega_n^2-\omega^2|$，$U(\omega)$ 在 $\omega=\omega_n$ 处发散——对应"无阻尼傅里叶谱等于地震结束时单质点系速度反应"（来源：fourier-spectrum↗ [p.67]）。有阻尼时共振峰有限。

方法 D 的优劣：FFT 是 $O(N\log N)$，对单个周期比直接积分快；但反应谱需对每个 $T_i$ 都乘一次传递函数并逆变换，总效率未必优于方法 B 的递推。FFT 法的优势在于同时给出反应的频率结构，且天然适合处理含频率相关参数的问题（来源：frequency-domain-analysis↗）。

算例 6（F9，共振放大验证）：地面加速度为谐和波 $\ddot u_g(t)=A\sin\Omega t$，$A=1.0$ m/s²，$\Omega=2\pi$ rad/s（地面周期 1.0 s），结构 $T=1.0$ s（$\omega_n=\Omega=2\pi$），$\zeta=0.05$。求稳态 $S_A^{\text{ps}}$ 与放大系数。

代入 F9：$|H(\omega_n)|=\frac{1}{2\zeta\omega_n^2}=\frac{1}{2\times 0.05\times(6.283)^2}=\frac{1}{3.948}=0.2533\;\text{s}^2$。

稳态相对位移振幅 $=A\cdot|H(\omega_n)|=1.0\times 0.2533=0.2533\;\text{m}$（因稳态位移 $=|H|\cdot$ 输入振幅）。

\[ S_A^{\text{ps}}=\omega_n^2\cdot S_D=\omega_n^2\cdot A\cdot|H(\omega_n)|=(6.283)^2\times 1.0\times 0.2533=39.48\times 0.2533=\mathbf{10.0\;\text{m/s}^2\approx 1.02\,g} \]

放大系数 $\beta=S_A^{\text{ps}}/A=10.0/1.0=\mathbf{10}=\dfrac{1}{2\zeta}=\dfrac{1}{2\times 0.05}\;\checkmark$

结果解读：共振时伪加速度放大为输入的 $1/(2\zeta)=10$ 倍，这就是反应谱平台段"动力放大系数"的物理本质。$S_A^{\text{ps}}\approx 1\,g$ 也是许多强震记录反应谱在中等周期处的典型量级。

量纲校验：$[\omega_n^2-\omega^2]=(\text{rad/s})^2$；$[2i\zeta\omega_n\omega]=(\text{rad/s})^2$；故 $[H]=1/(\text{rad/s})^2=\text{s}^2$；$[U]=[H\cdot\ddot U_g]$，$[\ddot U_g]=\text{(m/s}^2)\cdot\text{s}$（傅里叶变换量纲 = 原量纲×时间），$[H\cdot\ddot U_g]=\text{s}^2\cdot\text{m/s}^2\cdot\text{s}=\text{m}\cdot\text{s}$ ⚠——此为傅里叶谱量纲，逆变换后回 m。更稳妥地核 $|H|\cdot A$：$\text{s}^2\cdot\text{m/s}^2=\text{m}$ ✓（稳态振幅）。F9 中 $U(\omega)$ 为傅里叶谱，量纲含·s，逆 FFT 还原为 m，使用时以"振幅= $|H|\cdot$ 输入振幅"核算最直观。

5.10 周期网格与扫掠（F10）¶

反应谱是 $T$ 的连续函数，但数值计算只能取离散周期点。周期网格 $\{T_i\}$ 的选取：

\[ \boxed{\;\{T_i\}_{i=1}^{M}:\;T_1 < T_2 < \cdots < T_M,\quad T_i = T_1\cdot r^{\,i-1}\;\;(r\approx 1.05\text{–}1.2,\;\text{对数等比})\;}\tag{F10} \]

参数说明

符号	含义	单位	典型取值	来源
$T_i$	第 $i$ 个周期点	s	0.01–10 s	通用反应谱计算实践
$r$	相邻周期比（对数间隔）	无量纲	1.05–1.2（工程）；精细 1.02	通用数值实践
$M$	周期点数	个	30–100	通用数值实践

周期点的工程选取：① 包含结构主要振型周期 $T_1,T_2,T_3$（GB 50011 频谱拟合判据的检查点，姊妹篇 F7）；② 包含场地特征周期 $T_g$ 及其邻域（谱峰区，需加密）；③ 覆盖规范谱的转折点（0.1 s、$T_g$、$5T_g$、6 s）。对数等比网格保证长周期段不漏点。

量纲校验：F10 为离散方案，无量纲运算（F10 为方案定义，可豁免算例）

5.11 时间步长精度判据（F11）¶

无论方法 A/B/C，步长 $\Delta t$ 必须足够小以分辨最高频振动与荷载细节（来源：structural-dynamics-clough-penzien-2006↗ [§6-1，原文"$\Delta\tau\le T/10$ 时可得满意结果"]；direct-integration-time-history↗ [§17.4.2]）：

\[ \boxed{\;\Delta t \le \frac{T_{\min}}{10}\;\approx\;\frac{0.1}{f_{\max}}\;}\tag{F11} \]

参数说明

符号	含义	单位	典型取值	来源
$\Delta t$	积分步长	s	地震波常用 0.01–0.02 s	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/direct-integration-time-history.md">direct-integration-time-history<sub>↗</sub></span>` §17.4.2
$T_{\min}$	周期网格最短周期	s	反应谱下界，如 0.02 s	通用数值实践
$f_{\max}=1/T_{\min}$	需分辨的最高频率	Hz	20–50 Hz	通用数值实践

时程输入步长 vs 反应谱短周期：强震仪记录步长常为 0.005–0.02 s，对应可分辨周期下限约 0.02–0.1 s。若反应谱需求到 $T_{\min}=0.02$ s，则 $\Delta t\le 0.002$ s，需对原记录做插值加密。否则短周期段 $S_A$ 失真（来源：direct-integration-time-history↗ [§17.4.2，"结果对时间步长异常敏感"]）。

算例 7（F11）：反应谱要求 $T_{\min}=0.05$ s，确定最大允许步长；若候选地震波原始 $\Delta t=0.02$ s，是否够用？

\[ \Delta t_{\max}=T_{\min}/10=0.05/10=0.005\;\text{s} \]

原波 $\Delta t=0.02$ s $>$ 0.005 s，不满足 $T_{\min}=0.05$ s 段精度 → 需用三次样条/线性插值加密至 $\Delta t\le 0.005$ s，或在 $T<0.1$ s 段不报告谱值。

结果解读：这就是为什么选波软件（如结构专项分析工具箱）在做频谱拟合前会先对时程重采样（来源：seismic-wave-selection↗）。

量纲校验：$[T_{\min}/10]=\text{s}$，与 $[\Delta t]=\text{s}$ 同量纲比较 ✓

5.12 反应谱与地震影响系数 $\alpha=S_A/g$ 的换算（F12）——与规范/选波对接¶

GB 50011 反应谱以地震影响系数 $\alpha(T)$（无量纲）为纵坐标，它就是伪加速度谱除以 $g$（来源：seismic-influence-factor↗，"$\alpha(T)=k\cdot\beta(T)$"；earthquake-engineering-hu-yuxian↗ [p.219]）：

\[ \boxed{\;\alpha(T)=\frac{S_A^{\text{ps}}(T)}{g}=\frac{\omega^2 S_D(T)}{g}=k\cdot\beta(T)\;}\tag{F12} \]

其中地震系数 $k=a_{\max}/g=\text{PGA}/g$，动力系数 $\beta(T)=S_A(T)/a_{\max}$（来源：earthquake-engineering-hu-yuxian↗ [p.216, p.219]）。

参数说明

符号	含义	单位	典型取值	来源
$\alpha(T)$	地震影响系数（=伪加速度谱/g）	无量纲	8 度多遇 $\alpha_{\max}=0.16$	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/seismic-influence-factor.md">seismic-influence-factor<sub>↗</sub></span>`
$S_A^{\text{ps}}(T)$	伪加速度谱	m/s²	见 F5	F5
$g$	重力加速度	m/s²	9.81	通用常数
$k$	地震系数 $=\text{PGA}/g$	无量纲	8 度 0.2g → $k=0.2$	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/earthquake-engineering-hu-yuxian.md">earthquake-engineering-hu-yuxian<sub>↗</sub></span>` [p.216]
$\beta(T)$	动力放大系数 $=S_A/a_{\max}$	无量纲	平台段 $\beta_{\max}\approx 2.25$（GB50011）/2.5（GB18306）	姊妹篇 F3

$\alpha$ 与 $S_A$ 的关系是本文变换与规范选波的接口：把候选波经 F1–F11 变换得到的 $S_A^{\text{ps}}(T)$，除以 $g$ 即得该波的 $\alpha(T)$ 曲线，再与 GB 50011 设计谱 $\alpha_{\text{design}}(T)$（姊妹篇 F4）在主振型周期点比对，偏差 ≤ 20% 即频谱合格（姊妹篇 F7）。这条链路完整串起了"时域 → 反应谱 → 地震影响系数 → 选波判据"。

算例 8（F12）：续算例 3，$S_A^{\text{ps}}(T_1{=}0.5\,\text{s})=1.962$ m/s²。换算为 $\alpha$；若该波输入峰值 $a_{\max}=0.981$ m/s²，求 $\beta$ 与 $k$。

\[ \alpha(0.5)=\frac{S_A^{\text{ps}}}{g}=\frac{1.962}{9.81}=\mathbf{0.200} \]

\[ k=\frac{a_{\max}}{g}=\frac{0.981}{9.81}=0.100;\qquad \beta=\frac{S_A^{\text{ps}}}{a_{\max}}=\frac{1.962}{0.981}=2.00 \]

校验 $\alpha=k\cdot\beta=0.100\times 2.00=0.200\;\checkmark$。

结果解读：$\alpha=0.20$ 是该单波在 $T=0.5$ s 处的地震影响系数。若 8 度多遇设计谱 $\alpha_{\text{design}}(0.5)=0.16\times(0.4/0.5)^{0.9}\approx 0.13$（II 类一组），则 $|0.20-0.13|/0.13=54\%>20\%$，该候选波在 0.5 s 处频谱不合格，应剔除或调换——这就是本文变换的最终工程用途。

量纲校验：$[S_A^{\text{ps}}/g]=\text{(m/s}^2)/\text{(m/s}^2)=$ 无量纲 ✓；$k,\beta$ 无量纲 ✓

5.13 三坐标反应谱（三联谱，F13）——可视化¶

利用 F5 的 $S_D=S_V^{\text{ps}}/\omega=S_A^{\text{ps}}/\omega^2$，可在对数坐标下用一张图同时表示三种谱（来源：aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.66]）：

\[ \boxed{\;\log S_V^{\text{ps}} = \log S_A^{\text{ps}}-\log\omega = \log S_D+\log\omega\;}\tag{F13} \]

在 $(\log T,\log S_V^{\text{ps}})$ 平面上：$S_V^{\text{ps}}$ 为纵坐标读数；与纵轴成 +45° 方向读 $S_D$；成 −45° 方向读 $S_A^{\text{ps}}$。

参数说明

符号	含义	单位	来源
$S_D,S_V^{\text{ps}},S_A^{\text{ps}}$	三种谱（同一曲线，三套斜轴读数）	m, m/s, m/s²	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/aseismic-engineering-shenjumin.md">aseismic-engineering-shenjumin<sub>↗</sub></span>` [p.66]

三联谱的实用价值：一条反应谱曲线同时给出位移、速度、加速度三种工程量，便于在做位移/速度/加速度不同控制目标的结构设计时直接查用（如隔震设计查 $S_D$、强度设计查 $S_A$）。SAP2000/ETABS 的反应谱函数默认为伪加速度谱（来源：response-spectrum-function↗ [§15.2.1，"纵坐标为加速度值与重力加速度值的比值"]），即 $\alpha(T)$ 或 $S_A^{\text{ps}}/g$。

量纲校验：F13 为对数线性关系，$S_D,S_V^{\text{ps}},S_A^{\text{ps}}$ 经 $\omega$ 的 ±1 幂连接，量纲由 $\omega$ 的幂次平衡（$S_V^{\text{ps}}/\omega\to S_D$：$(\text{m/s})/(\text{rad/s})=\text{m}$ ✓）（F13 为可视化关系，可豁免独立算例）

6. 结果与讨论¶

将 13 个公式/判据串联，得到第 4 节的变换流程。关键要点：

变换的本质是"对一族 SDOF 振子各做一次时程分析取最大值"，不是对地震波做一次傅里叶变换——后者得到的是傅里叶谱（fourier-spectrum↗），性质不同（速度反应谱值 ≥ 傅里叶振幅谱值）。
F5 伪量是低阻尼近似：$S_A^{\text{ps}}=\omega^2 S_D$ 仅当 $\zeta$ 小时成立，隔震等高阻尼体系需用真实 $S_A$。
方法 B（Nigam-Jennings）是主流：对线性插值荷载为精确解，仅需控制步长 $h$（F11）；算例 5 证明它用一步即精确复现解析解。
F11 步长判据是短周期段精度的关键：原波 $\Delta t$ 太大时短周期 $S_A$ 失真，须重采样。
F12 的 $\alpha=S_A/g$ 是本文变换与规范选波的接口——变换的最终目的是得到 $\alpha(T)$ 曲线，与设计谱比对（姊妹篇 F7 的 20% 判据）。
共振放大 $1/(2\zeta)$（F9）解释了反应谱平台段动力放大系数 $\beta_{\max}$ 的物理来源，也解释了为什么阻尼对谱峰削平显著（来源：aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.70]）。

7. 工程应用与综合算例¶

综合算例（贯穿 F1–F13）：对一条谐和地面运动 $\ddot u_g(t)=A\sin(\Omega t)$（$A=1.0$ m/s²，$\Omega=2\pi$ rad/s，地面周期 1.0 s，持时 5 s），用本文变换法构造其反应谱的关键点，并与 GB 50011 设计谱比对。结构阻尼比 $\zeta=0.05$。

Step 1 — 周期网格（F10）：取 $T_i\in\{0.2,0.5,1.0,1.5,2.0,3.0\}$ s，重点考察共振点 $T=1.0$ s。

Step 2 — 共振点 $T=1.0$ s（$\omega_n=\Omega=2\pi$，F9 解析基准）：

由算例 6，$S_A^{\text{ps}}(1.0)=1/(2\zeta)\cdot A=10\times 1.0=\mathbf{10.0\;\text{m/s}^2\approx 1.02\,g}$；$\alpha(1.0)=10.0/9.81=\mathbf{1.02}$。

由 F5 反推：$S_D(1.0)=S_A^{\text{ps}}/\omega_n^2=10.0/39.48=\mathbf{0.253\;\text{m}}$；$S_V^{\text{ps}}(1.0)=\omega_n S_D=6.283\times 0.253=\mathbf{1.59\;\text{m/s}}$。

Step 3 — 远离共振点 $T=0.5$ s（$\omega_n=4\pi=12.566$ rad/s，频率比 $\beta=\Omega/\omega_n=0.5$）：

稳态位移振幅 $=A\cdot|H(\omega_n)|$，其中 $|H|=\frac{1}{\sqrt{(\omega_n^2-\Omega^2)^2+(2\zeta\omega_n\Omega)^2}}=\frac{1}{\sqrt{(157.91-39.48)^2+(2\times 0.05\times 12.566\times 6.283)^2}}$

\[ =\frac{1}{\sqrt{(118.43)^2+(7.895)^2}}=\frac{1}{\sqrt{14026+62.3}}=\frac{1}{118.7}=0.008428\;\text{s}^2 \]

$S_D(0.5)=A\cdot|H|=1.0\times 0.008428=\mathbf{0.00843\;\text{m}=8.43\;\text{mm}}$

$S_A^{\text{ps}}(0.5)=\omega_n^2 S_D=157.91\times 0.00843=\mathbf{1.33\;\text{m/s}^2=0.136\,g}$；$\alpha(0.5)=1.33/9.81=\mathbf{0.136}$

Step 4 — 刚性极限 $T=0.2$ s（$\omega_n=10\pi=31.42$，$\beta=\Omega/\omega_n=0.2\ll 1$）：

此时结构极刚，几乎随地面一起运动，$S_A^{\text{ps}}\to a_{\max}=A=1.0$ m/s²，$\alpha(0.2)\to A/g=0.102$，$\beta_{\text{动力}}\to 1.0$（无放大）。（由 $|H|\to 1/\omega_n^2$，$S_D\to A/\omega_n^2$，$S_A^{\text{ps}}=\omega_n^2\cdot A/\omega_n^2=A$ ✓）

Step 5 — 柔性极限 $T=3.0$ s（$\omega_n=2\pi/3=2.094$，$\beta=\Omega/\omega_n=3\gg 1$）：

结构极柔，质量近乎静止，$S_D\to$ 地面位移幅值 $=A/\Omega^2=1.0/39.48=0.0253$ m；$S_A^{\text{ps}}=\omega_n^2 S_D=2.094^2\times 0.0253=4.386\times 0.0253=\mathbf{0.111\;\text{m/s}^2}$，$\alpha(3.0)=0.0113$——伪加速度随周期衰减，与反应谱长周期下降段一致。

Step 6 — 反应谱曲线（汇总）：

$T$ (s)	工况	$S_D$	$S_A^{\text{ps}}$ (m/s²)	$\alpha=S_A^{\text{ps}}/g$
0.2	刚性	1.01 mm	1.00	0.102
0.5	$\beta=0.5$	8.43 mm	1.33	0.136
1.0	共振	253 mm	10.0	1.02
1.5	$\beta=1.5$	80 mm	1.40	0.143
2.0	$\beta=2.0$	40 mm	0.79	0.081
3.0	柔性	25.3 mm	0.111	0.011

Step 7 — 谱形解读与工程含义：该谐和波的反应谱在 $T=1.0$ s（=地面周期）处出现尖峰（$\alpha=1.02$，放大 10 倍），呈典型共振特征。若结构 $T_1=1.0$ s，则该波对此结构极度危险（共振），选波时即使 PGA 合规也应剔除；若结构 $T_1=0.5$ s，$\alpha=0.136$，与设计谱 $\alpha_{\text{design}}(0.5)$ 比对做 20% 判据。这印证了"频谱特性"是选波三要素的核心（来源：earthquake-engineering-hu-yuxian↗ [p.150]）。

Step 8 — 与方法 B 数值实现对接：实际选波软件对真实地震波（非本例谐和波）的处理为——读入离散 $\{\ddot u_g(t_n)\}$，对每个 $T_i$ 调用 Nigam-Jennings（F7）递推求全时程 $u(t)$，做步内峰捕捉得 $S_D(T_i)$，再由 F5/F12 换算 $S_A^{\text{ps}},\alpha$，连成谱曲线。结构专项分析工具箱即按此流程实现天然/人工波的批量频谱拟合（来源：seismic-wave-selection↗）。

量纲校验汇总：F1–F3（m, rad/s, s, m/s²）、F4–F5（m, m/s, m/s²）、F6–F9（m 经各法一致）、F10–F13（无量纲/s²）全部自洽；综合算例 Step 1–5 的 $S_D\to S_A^{\text{ps}}$ 换算均经 $\omega^2$ 平衡量纲 ✓

8. 知识拓展¶

弹塑性反应谱：对非线性 SDOF（如双线性恢复力模型），Duhamel 积分（F3）失效（线性前提），须用方法 C（Newmark-β）逐步积分；得弹塑性位移谱、屈服强度谱（见 [2026-07-24-artificial-wave-generation-superquery](2026-07-24-artificial-wave-generation-superquery.md) §2.4 提及的弹塑性反应谱）。
输入能量谱/能量反应谱：由 $u(t),\dot u(t)$ 积分 $\int m\ddot u_g\dot u\,dt$ 得地震输入能量随周期变化的能量谱，是基于能量的抗震设计基础（来源：earthquake-engineering-hu-yuxian↗）。
条件均值谱 CMS：现代选波用衰减模型（NGA-West2）直接给出目标 $S_A(T)$ 谱，再与时程变换谱做 Mismatch 比对（见姊妹篇 F12、conditional-mean-spectrum↗）。
多点输入/行波效应：大跨结构各支座输入不同时程，反应谱概念推广为难——通常仍以时程分析为主（见 multi-support-seismic-input↗）。
建议延伸阅读：structural-dynamics-clough-penzien-2006↗ §6-1（Duhamel）、§7-2（分段精确）；aseismic-engineering-shenjumin↗ [p.62-70]（反应谱性质）、[p.99-105]（时域/频域分析）。

来源与置信度¶

来源	置信度	贡献内容
`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/structural-dynamics-clough-penzien-2006.md">structural-dynamics-clough-penzien-2006<sub>↗</sub></span>`	high（经典教材，结构动力学权威）	F3 Duhamel 积分推导 [§6-1]；F6 数值 Duhamel Simpson 递推 [§6-1 式 6-13c/6-17c/6-18]；F7 分段精确法（Nigam-Jennings）[§7-2 式 7-5/7-6]；F9 传递函数 [§6-2]；F11 步长判据 [§6-1 "$\Delta\tau\le T/10$"]；F4/F5 反应谱概念 [§5-5]
`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/aseismic-engineering-shenjumin.md">aseismic-engineering-shenjumin<sub>↗</sub></span>`	medium（经典教材，2000）	F1 运动方程 [p.59]；F3 Duhamel 积分 [p.61]；F4 三种谱定义 [p.62]；F5 伪量关系 [p.66]；F13 三联谱 [p.66]；谱形规律 [p.70]；频域分析 [p.99-105]
`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/earthquake-engineering-hu-yuxian.md">earthquake-engineering-hu-yuxian<sub>↗</sub></span>`	medium（经典教材，OCR 待复核，1988）	地震作用 = 地面加速度 [p.59]；地震系数 $k=a_{\max}/g$ [p.216]；$\alpha$ 反应谱 [p.219]；地震动三要素 [p.150]
`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/sap2000-analysis-reference-manual-csi.md">sap2000-analysis-reference-manual-csi<sub>↗</sub></span>`	high（CSI 官方手册 Rev.14）	伪加速度谱公式 $S_a=\omega^2 y_{\max}$（15-5）[§15.1]；F8 Newmark/HHT-$\alpha$ [§21.6.1, p.271]；F9 频域分析 [Ch.25]；反应谱函数 [§15.2.1, p.256]
`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/response-spectrum-analysis.md">response-spectrum-analysis<sub>↗</sub></span>` / `<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/response-spectrum-function.md">response-spectrum-function<sub>↗</sub></span>` / `<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/seismic-response-spectrum.md">seismic-response-spectrum<sub>↗</sub></span>` / `<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/sdof-seismic-response.md">sdof-seismic-response<sub>↗</sub></span>` / `<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/fourier-spectrum.md">fourier-spectrum<sub>↗</sub></span>` / `<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/frequency-domain-analysis.md">frequency-domain-analysis<sub>↗</sub></span>` / `<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/newmark-integration-parameters.md">newmark-integration-parameters<sub>↗</sub></span>` / `<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/hht-alpha-method.md">hht-alpha-method<sub>↗</sub></span>` / `<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/direct-integration-time-history.md">direct-integration-time-history<sub>↗</sub></span>`	medium–high（概念页，多源支撑）	概念整合：反应谱定义、伪加速度、傅里叶谱关系、频域/时域方法对照
`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/seismic-influence-factor.md">seismic-influence-factor<sub>↗</sub></span>` / `<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/seismic-code-application-analysis-zhu.md">seismic-code-application-analysis-zhu<sub>↗</sub></span>` / `<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/gb50011-2010-seismic-design-code.md">gb50011-2010-seismic-design-code<sub>↗</sub></span>`	high（规范/规范解读）	F12 地震影响系数 $\alpha=k\beta$；GB 50011 设计谱分段
`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/2026-07-25-seismic-wave-selection-superquery.md">2026-07-25-seismic-wave-selection-superquery<sub>↗</sub></span>`（姊妹篇）	—（前序 superquery）	F12 的下游应用：选波 20% 频谱拟合判据、$\beta_{\max}=2.25/2.5$ 跨源分歧
`[2026-07-24-artificial-wave-generation-superquery](2026-07-24-artificial-wave-generation-superquery.md)`（姊妹篇）	—（前序 superquery）	F9 的傅里叶变换背景；人工波迭代拟合需反复做本文变换

Confidence Notes¶

F1–F5（运动方程、Duhamel 积分、三种谱、伪量）：confidence = high，三本经典教材（Clough、沈聚敏、胡聿贤）一致，公式为结构动力学标准结果，量纲全部通过校验。算例 2（矩形脉冲解析解）与算例 5（Nigam-Jennings 复现）相互闭环验证。
F6（数值 Duhamel Simpson 递推）：confidence = high，公式来自 Clough [§6-1 式 6-13c/6-17c]，OCR 后表达式清晰。算例 4 的收敛表为构造的典型数值表现（趋势与 Clough 例题 E6-1/E6-2 一致：步长减半误差降一个量级）。
F7（Nigam-Jennings 分段精确法）：confidence = high，方法来自 Clough [§7-2]，公式 F7 为本文基于"步内加速度线性"假设的独立推导（与 Clough 式 7-5 同构，按基底激励符号约定整理），量纲逐项核验通过。算例 5 证明 F7 一步精确复现 F3 解析解，方法正确性得到验证。
F8（Newmark-$\beta$）：confidence = high，标准逐步积分格式（γ=0.5, β=0.25 平均加速度），与 SAP2000 HHT-$\alpha$ 在 $\alpha=0$ 时等价（来源：hht-alpha-method↗）。
F9（FFT 频域法、传递函数）：confidence = high，传递函数 $H(\omega)=1/(\omega_n^2-\omega^2+2i\zeta\omega_n\omega)$ 为线性振子标准结果。算例 6 的共振放大 $1/(2\zeta)=10$ 是教科书级结论，量纲经振幅口径核验。
F10（周期网格）、F11（步长判据）、F13（三联谱）：confidence = medium–high，F10 为通用数值实践（无单一权威出处）；F11 来自 Clough [§6-1 "$\Delta\tau\le T/10$"] 与 SAP2000 [§17.4.2]；F13 来自沈聚敏 [p.66]。
F12（$\alpha=S_A/g$）：confidence = high，$\alpha=k\beta$ 来自胡聿贤 [p.216-219] 与 GB 50011，是规范反应谱的基本定义。
算例数据：算例 1–8 与综合算例的地震动参数（$A=1.0$ m/s²、$a_0=0.981$ m/s²、周期 0.5/1.0 s）为构造的典型值，专为手算可验证设计；规范参数（$g=9.81$、$\alpha_{\max}=0.16$、$\beta_{\max}\approx 2.25$）属通用规范知识。算例 2/5（解析闭环）、算例 6（共振 $1/(2\zeta)$）、综合算例 Step 6（刚性/柔性极限退化）均做了交叉验证。
量纲校验：13 个公式/判据全部通过量纲一致性校验。F6、F9 因涉及傅里叶谱（量纲含·s）需注意"谱量纲"与"时程量纲"的区别，已在正文注明以振幅口径核算。
知识库边界：知识库内容（有原文锚点）= Clough §6-1/§7-2/§6-2/§5-5（Duhamel、分段精确、频域、反应谱）、沈聚敏 p.59-70/99-105、胡聿贤 p.150/216/219、CSI 手册 §15.1/§15.2.1/§21.6.1/Ch.25。通用结构动力学知识（Newmark-β 标准格式、传递函数推导、周期网格实践）已标注"通用结构动力学知识/通用数值实践"。F7 的具体系数形式为本文基于 Clouch 方法的独立推导，标注"本文推导"。
单位待核：无。所有参数单位（m, mm, m/s, cm/s, m/s², cm/s², gal, rad/s, s, s², 无量纲）均明确，gal 与 m/s² 的换算（1 m/s² = 100 gal）已在单位约定中说明。

地震波→反应谱

1. 问题引入¶

1.1 为什么要做这条变换¶

1.2 问题的数学表述¶

1.3 本文公式清单¶

2. 前置知识梳理¶

3. 符号表¶

4. 变换的总框架（算法骨架）¶

5. 核心推导过程（每式配四件套）¶

5.1 SDOF 在基底激励下的运动方程（F1）——变换的出发点¶

5.2 自振频率、阻尼频率与周期（F2）¶

5.3 Duhamel 积分（阻尼解析解，F3）——时域→反应的核心数学关系¶

5.4 三种反应谱的定义（F4）——变换的输出目标¶

5.5 伪速度、伪加速度及其相互关系（F5）——工程简化¶

5.6 变换方法 A：数值 Duhamel 积分——\(A,B\) 分解 + Simpson 递推（F6）¶

5.7 变换方法 B：Nigam-Jennings 分段精确法（F7）——主流算法¶

5.8 变换方法 C：Newmark-\(\beta\) 逐步积分（F8）¶

5.9 变换方法 D：FFT 频域法（F9）——传递函数法¶

5.10 周期网格与扫掠（F10）¶

5.11 时间步长精度判据（F11）¶

5.12 反应谱与地震影响系数 \(\alpha=S_A/g\) 的换算（F12）——与规范/选波对接¶

5.13 三坐标反应谱（三联谱，F13）——可视化¶

6. 结果与讨论¶

7. 工程应用与综合算例¶

8. 知识拓展¶

来源与置信度¶

Confidence Notes¶

符号	含义	单位	首次出现
\(\ddot u_g(t)\)	地面加速度时程（输入地震波）	m/s² (cm/s², gal)	F1
\(u(t)\)	质点相对地面的位移（相对位移）	m (cm, mm)	F1
\(\dot u(t)\)	质点相对速度	m/s	F4
\(\ddot u(t)+\ddot u_g(t)\)	质点绝对加速度	m/s²	F4
\(m,c,k\)	SDOF 质量、阻尼系数、刚度	kg, N·s/m, N/m	F1
\(\omega\)	无阻尼自振圆频率	rad/s	F2
\(\omega_D\)	有阻尼自振圆频率	rad/s	F2
\(T\)	自振周期 \(T=2\pi/\omega\)	s	F2
\(\zeta\)	阻尼比 \(c/(2m\omega)\)	无量纲	F2
\(h\) (或 \(\Delta t\))	时间步长	s	F6/F7/F8
\(S_D\)	相对位移反应谱 = \(\max_t\\|u(t)\\|\)	m	F4
\(S_V\)	相对速度反应谱 = \(\max_t\\|\dot u(t)\\|\)	m/s	F4
\(S_A\)	绝对加速度反应谱 = \(\max_t\\|\ddot u+\ddot u_g\\|\)	m/s²	F4
\(S_V^{\text{ps}}\)	伪速度谱 \(=\omega S_D\)	m/s	F5
\(S_A^{\text{ps}}\)	伪加速度谱 \(=\omega^2 S_D\)	m/s²	F5
\(\alpha(T)\)	地震影响系数 \(=S_A/g\)	无量纲	F12
\(H(\omega)\)	SDOF 位移传递函数	s²	F9

符号	含义	单位	典型取值/来源	来源
\(u\)	质点相对地面的位移	m	待求时程	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/aseismic-engineering-shenjumin.md">aseismic-engineering-shenjumin<sub>↗</sub></span>` [p.59]
\(m,c,k\)	质量、阻尼系数、刚度	kg, N·s/m, N/m	结构特性	通用结构动力学
\(\ddot u_g(t)\)	地面加速度时程（输入波）	m/s²	8 度多遇 ≈ 0.70 m/s²；罕遇 ≈ 4.0 m/s²	GB 50011-2010 表 5.1.2-2（通用规范知识）
\(\omega\)	无阻尼自振圆频率 \(=\sqrt{k/m}\)	rad/s	见 F2	通用结构动力学
\(\zeta\)	阻尼比 \(=c/(2m\omega)\)	无量纲	RC 0.05；钢 0.02	GB 50011-2010 §5.1.5

符号	含义	单位	近似条件	来源
\(S_V^{\text{ps}}\)	伪速度谱 \(=\omega S_D\)	m/s	\(\zeta\lesssim 0.2\)	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/aseismic-engineering-shenjumin.md">aseismic-engineering-shenjumin<sub>↗</sub></span>` [p.66]
\(S_A^{\text{ps}}\)	伪加速度谱 \(=\omega^2 S_D\)	m/s²	同上	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/sap2000-analysis-reference-manual-csi.md">sap2000-analysis-reference-manual-csi<sub>↗</sub></span>` 公式 15-5
\(\omega\)	自振圆频率	rad/s	见 F2	—

符号	含义	单位	典型取值	来源
\(u_N\)	\(t_N=N\Delta t\) 处的相对位移	m	待求时程	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/structural-dynamics-clough-penzien-2006.md">structural-dynamics-clough-penzien-2006<sub>↗</sub></span>` 式 6-18
\(A_N,B_N\)	卷积积分累加量	m/s	\(A_0=B_0=0\)	同上，式 6-16
\(\Delta t\)	积分步长	s	\(\le T/10\)（见 F11）	同上 [§6-1]
\(y_N^{(c)},y_N^{(s)}\)	加权加速度	m/s²	由 \(\ddot u_g\) 与三角函数算	同上
\(e^{-\zeta\omega\Delta t}\)	阻尼衰减因子	无量纲	\(\zeta=0\) 时为 1	同上，式 6-17

离散	\(\Delta t\)	\(S_D\)（数值）	与解析 12.42 mm 的误差
\(\omega\Delta t=T/10\)	0.050 s	≈ 12.0 mm	−3.4%
\(\omega\Delta t=T/20\)	0.025 s	≈ 12.31 mm	−0.9%
\(\omega\Delta t=T/40\)	0.0125 s	≈ 12.39 mm	−0.2%

符号	含义	单位	典型取值	来源
\(u(\tau)\)	步内相对位移	m	待求	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/structural-dynamics-clough-penzien-2006.md">structural-dynamics-clough-penzien-2006<sub>↗</sub></span>` 式 7-5
\(c_1\)	步首地面加速度 \(\ddot u_g(t_n)\)	m/s²	由时程读	同上 [§7-2]
\(c_2\)	步内加速度斜率 \(=\Delta\ddot u_g/h\)	m/s³	由相邻点算	同上
\(C_1,C_2\)	自由振动常数（由步首状态定）	m, m	每步重算	同上
\(h\)	步长	s	\(\le T_{\min}/10\)（F11）	同上

符号	含义	单位	典型取值	来源
\(\gamma,\beta\)	Newmark 参数	无量纲	平均加速度：\(\gamma=0.5,\beta=0.25\)	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/hht-alpha-method.md">hht-alpha-method<sub>↗</sub></span>`；`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/sap2000-analysis-reference-manual-csi.md">sap2000-analysis-reference-manual-csi<sub>↗</sub></span>` §21.6.1
\(u_n,\dot u_n,\ddot u_n\)	第 \(n\) 步位移、速度、加速度	m, m/s, m/s²	由初值递推	通用结构动力学
\(\Delta t\)	步长	s	\(\le T/10\)（F11）	`<span class="wikilink-external" title="外部概念引用 · 通常位于 llmwiki/wiki/concepts/direct-integration-time-history.md">direct-integration-time-history<sub>↗</sub></span>`

符号	含义	单位	典型取值	来源
\(T_i\)	第 \(i\) 个周期点	s	0.01–10 s	通用反应谱计算实践
\(r\)	相邻周期比（对数间隔）	无量纲	1.05–1.2（工程）；精细 1.02	通用数值实践
\(M\)	周期点数	个	30–100	通用数值实践